• Szkoła Ucząca Się
    • Ocenianie Kształtujące - serwis edukacyjny
    • Nauczyciel 1. klasa
    • Solidarna Szkoła
    • Kształcenie Obywatelskie w Szkole Samorządowej (KOSS)
    • Konkurs Wiedzy Obywatelskiej i Ekonomicznej
    • Szkoła z klasą 2.0
    • WF z klasą
    • Koduj z Klasą
    • Klasna Shkola
    • Młodzi przedsiębiorczy
    • Szkoła tolerancji
    • Cyfrowa Akademia
    • Rozmawiajmy o uchodźcach!
    • Samorząd uczniowski
    • Młody Obywatel
    • Weź oddech
    • Edukacja globalna
    • Zgodnie z naturą
    • Kulthurra!
    • Filmoteka szkolna. Akcja!
    • Włącz się. Młodzi i media
      • Nienawiść. Jestem przeciw!
      • Wrota Wiedzy
      • Młodzi głosują
      • Nagroda im. Ireny Sendler
      • Mamy prawo
      • Gimnazjalny Projekt Edukacyjny
      • Opowiem ci o wolnej Polsce
      • W świat z klasą
      • Ślady przeszłości - uczniowie adoptują zabytki
      • Czytam sobie w bibliotece
      • Mistrzowie kodowania
      • Działasz.pl
      • Centrum Edukacji Obywatelskiej
      • Sejm Dzieci i Młodzieży
        • Akademia uczniowska
        • Aktywna edukacja
        • Noc bibliotek

      Niestety brak informacji

      Matematyka to sprawa życia i śmierci

      Życie jest jak pudełko czekoladek, nigdy nie wiesz, co ci się trafi - mawiał Forrest Gump, bohater filmu Roberta Zameckisa. Jeśli się na ludzkie losy spojrzy oczami matematyka, to wygląda na to, że Gump miał rację...


      Wyobraźcie sobie, że dzwoni wasz lekarz i grobowym głosem oznajmia, że z prawdopodobieństwem 0,999, a więc graniczącym niemal z pewnością, umrzecie w ciągu najbliższej dekady. Tak zaczyna się prawdziwa historia, którą w książce „Matematyka niepewności” opisuje Leonard Mlodinow. To on był tym pacjentem z wyrokiem śmierci. Kiedy chciał wykupić ubezpieczenie na życie, zrobiono mu test na obecność wirusa HIV we krwi. I zaraz potem w pewne piątkowe popołudnie lekarz zadzwonił do niego z hiobową wieścią: test dał wynik dodatni. Był rok 1989 r., lekarstwa na AIDS nie było. „Niełatwo mi dziś opisać ani nawet przypomnieć sobie, jak upłynął mi tamten weekend - pisze Mlodinow. Ale skoro wydano na mnie wyrok śmierci, co tu jeszcze robię, pisząc spokojnie o wszystkim?”.
       
      Lekarz wiedział, że w jednej próbce krwi na tysiąc wynik testu może być dodatni, ale... fałszywy. Ocenił więc, że właśnie taka jest szansa, iż pacjent jest zdrowy - jedna na tysiąc, a więc z prawdopodobieństwem 0,999 umrze. Miał rację? Nie. Źle oszacował prawdopodobieństwo. Nie uwzględnił innej ważnej informacji: że Mlodinow nie należy do grupy ryzyka. To heteroseksualny biały Amerykanin płci męskiej, nieprzyjmujący narkotyków dożylnie. Ze statystyk wynikało, że takie osoby bardzo rzadko chorują na AIDS - tylko jedna na 10 tys. jest zarażona wirusem HIV. Co to oznacza? Że tylko jedna osoba na 10 tys. będzie miała wynik dodatni testu z tego powodu, że jest rzeczywiście zarażona. Jednocześnie dziesięć innych osób z tej samej grupy będzie miało wynik dodatni testu, chociaż są zdrowe, ponieważ - tu lekarz miał rację - test mylił się raz na tysiąc badań. Podliczmy teraz: w grupie 10 tys. osób wynik badania da dziesięć fałszywych wyników dodatnich i jeden prawdziwy. Słowem, lekarz powinien zadzwonić i powiedzieć pacjentowi: „Proszę się z góry nie martwić, ma pan 10 szans na 11, że nie jest pan zarażony”. W istocie okazało się, że Mlodinow jest zdrowy. Ale jego historia pokazuje, jak ważna jest znajomość matematyki - w tym wypadku rachunku prawdopodobieństwa. Lekarze przecież na co dzień decydują o rozpoczęciu jakiejś terapii, szacując jej ryzyko i szanse powodzenia. To samo dotyczy wymiaru sprawiedliwości, gdzie też, jak w medycynie, ważone są kwestie życia i śmierci. Co jest bardziej prawdopodobne - to, że oskarżony, znalazłszy ciało, opuścił miejsce zbrodni, czy to, że oskarżony, znalazłszy ciało, opuścił miejsce zbrodni, gdyż obawiał się, że będzie podejrzany o makabryczne przestępstwo? Wielu z nas wydaje się, że to drugie. Tak często rozumują sędziowie oraz przysięgli. A to klasyczny błąd sugerujący złe intencje oskarżonego, choć ten mógł mieć tysiące innych powodów, by oddalić się z miejsca przestępstwa.
       
      Mlodinow w swej książce przytacza głośny proces O.J. Simpsona, gwiazdy futbolu amerykańskiego, oskarżonego o zamordowanie swej byłej żony. Prokuratorzy w pierwszych dniach procesu bezsprzecznie udowodnili, że O.J. znęcał się i stosował przemoc wobec żony, co miało przekonać przysięgłych o jego winie. Adwokat jednak rozbroił ich misterny plan. Przywołał następujące dane: w USA co roku aż 4 mln kobiet są bite przez mężów lub partnerów, blisko 1500 zostaje zamordowanych, czyli śmierć spotyka jedną na 2,5 tys. ofiar przemocy domowej. To zdarza się naprawdę bardzo rzadko - argumentował obrońca. Przekonujący argument? Pozornie. W rzeczywistości kluczowe były inne dane: wśród wszystkich bitych kobiet, które zostały zamordowane, około 90 proc. zginęło z ręki swojego wcześniejszego prześladowcy. Takiej statystyki jednak oskarżyciel podczas procesu nie przedstawił.
       
      Pochwała czy nagana
      Zostawmy jednak dramaty i morderstwa. Jakże często w zwykłym, codziennym życiu mylne pojmowanie praw rządzących przypadkiem prowadzi nas na manowce.
      W połowie lat 60. XX wieku Daniel Kahneman, młody profesor psychologii na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie, prowadził wykłady dla izraelskich instruktorów latania. Uczył ich m.in. tego, że nagradzanie pozytywnych zachowań ma sens, a karanie za błędy - nie działa. Jeden z instruktorów mu przerwał: „Moje doświadczenia temu przeczą. Często chwaliłem uczniów za pięknie wykonane manewry, a oni następnym razem wykonywali je gorzej. Kiedy zaś wrzeszczałem na tych, którzy spartaczyli sprawę, to potem zwykle radzili sobie lepiej”. Inni instruktorzy temu przytaknęli. Kahneman uświadomił sobie wtedy, że spostrzeżenia instruktorów są trafne. A jednocześnie - że są oni w błędzie, jeśli myślą, że karanie za błędy mobilizuje ucznia i przyczynia się do poprawy.
       
      Wyjaśnienie jest proste. Oczywiste jest, że z biegiem czasu i nauki podnosi się średni poziom umiejętności młodych adeptów latania, ale między dwoma kolejnymi manewrami nie powinno być widać tej zmiany. Zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa uczniowi powinny zdarzać się zarówno lepsze dni (powyżej jego średnich możliwości), jak i gorsze. Nadzwyczaj dobry lub paskudnie zły manewr to kwestia przypadku. Jeśli któregoś dnia zły los sprawi, że uczeń wyląduje gładko - znacznie lepiej od swego przeciętnego poziomu - to są duże szanse, że następnego dnia zbliży się do swej normy, czyli wyląduje gorzej. I jeśli instruktor go wcześniej pochwalił, będzie wyglądało na to, że pochwała nie pomogła. Jeśli zaś dla odmiany uczeń okrutnie zepsuje lądowanie, to są duże szanse, że nazajutrz się poprawi, tj. zbliży do swej normy. To, że instruktor wrzasnął, nie ma nic do rzeczy, ale będzie się wydawać, że to połajanka dodała mu skrzydeł.
      Pewnie dlatego tak rozpowszechnione jest przekonanie o dobrym wpływie kary wśród naszych przełożonych w korporacjach albo nauczycieli w szkole. Ale to tylko czubek góry lodowej - prof. Kahneman dostał w 2002 r. Nagrodę Nobla z ekonomii za analizę takich zdarzeń, w których działa wyłącznie przypadek, ale ludzie zdają się widzieć w nich efekt przemyślnej strategii czy też intuicji.
       
      W życiu jak w kasynie
      Swego czasu Barton Malkiel, profesor z Princeton, wysunął śmiałą tezę, że nawet małpa z zawiązanymi oczami, rzucając lotkami w wykres notowań akcji, lepiej inwestowałaby pieniądze inwestorów niż profesjonalni doradcy.
      „The Wall Street Journal” postanowił to sprawdzić. Rolę małpy odegrali dziennikarze - rzucając lotkami do tablicy notowań, wybierali grupę spółek, a następnie porównywali ich wyniki z portfelem akcji starannie dobranym przez czterech dobrze opłacanych giełdowych ekspertów. W 1998 r. zaprezentowali efekty dotychczasowych stu takich konkursów. Okazało się, że aż w 39 przypadkach lepsza okazała się małpa, czyli ślepy los.
      Jaki z tego wniosek? Mlodinow sugeruje w swej książce, że po prostu nie doceniamy roli przypadku w życiu. Serię porażek przypisujemy ludzkiej niedoskonałości. Myślimy, że jesteśmy gorsi od innych, a tylko brakuje nam cierpliwości, by przezwyciężyć zły los. Czasem trzeba wiele razy próbować, jak przy rzucie kostką, żeby osiągnąć sukces. Przykłady? Maszynopis pierwszej książki Johna Grishama „Czas zabijania” odrzuciło 26 wydawnictw, perypetiami Harry'ego Pottera nie było z początku zainteresowanych dziewięć wydawnictw. David Picker, szef jednej z wytwórni filmowych w Hollywood, miał swego czasu powiedzieć, że gdyby sfinansował wszystkie projekty, które odrzucił, i odrzucił wszystkie, które finansował, to wyszłoby mniej więcej na to samo.
      Dlatego też warto oceniać ludzi na podstawie ich umiejętności, a nie dotychczasowych sukcesów czy porażek. Bo w długiej serii losowań będą i takie, które daleko odchylają się od średniej. I jeszcze jedna rada: „Nie dziwmy się - pisze Mlodinow - że w każdej dyscyplinie ludzie sukcesu są niemal bez wyjątku członkami tego samego klubu: klubu osób, które się nie poddają”.
      Proszę bardzo, jaką optymistyczną i życiową radę daje matematyka: bądź uparty, a prędzej czy później osiągniesz to, co chcesz.
       
      Piotr Cieśliński
      Leonard Mlodinow, „Matematyka niepewności”, wyd. Prószyński i S-ka
         
      Kto lekceważy postęp? (geometryczny)
      Używamy matematyki codziennie, choć zwykle nie zdajemy sobie z tego sprawy, zupełnie jak pan Jourdain u Moliera, który nie miał pojęcia, że mówi prozą. Pewnie dlatego wpadamy w pułapki matematycznego myślenia. Nie doceniamy np. siły postępu geometrycznego - a więc ciągu liczb, w którym każda następna jest wielokrotnością poprzedniej. Przez to mamy w pogardzie oszczędzanie, wpadamy w pułapki zadłużenia, spłacając odsetki od kredytu, potem odsetki od odsetek etc. - pisze Michał Szurek w „Matematyce dla humanistów”.
      Gdyby nasz przodek żyjący w roku bitwy pod Grunwaldem mógł złożyć przynajmniej 1 grosik na pięć procent rocznie, mielibyśmy teraz, bagatela, ponad 30 mld zł. Indianie pod koniec 1624 r. sprzedali Manhattan za paciorki warte 24 dolary. Gdyby zainwestowali te pieniądze w biznes, z którego mieliby 10 proc. stopy zwrotu rocznie, to pod koniec XX w. ich majątek byłby wart ponad 330 bln dol.
      Innym przykładem dobrodziejstw geometrycznego postępu jest recykling. Gdyby udało się odzyskiwać i ponownie wykorzystywać trzy czwarte aluminium zużytego do produkcji puszek, to ile więcej puszek można byłoby wyprodukować z jednej tony surowca? Może się zdziwicie, ale aż cztery razy więcej. Gdybyśmy odzyskiwali 90 proc. surowca - z jednej tony aluminium produkowalibyśmy aż 10 razy więcej puszek, przy 99-proc. recyklingu - sto razy więcej. O tyle można byłoby więc zmniejszyć zużycie surowców. Recykling to gra warta świeczki.
       
      Nauki płynące z Monte Carlo
      Hazard nie kojarzy się zbyt dobrze w Polsce, zwłaszcza ostatnio. W nauce jednak zdziałał wiele dobrego. Przenieśmy się na chwilę do pierwszych lat po drugiej wojnie światowej, kiedy znakomity polski matematyk Stanisław Ulam dochodził do siebie po ciężkim wirusowym zapaleniu opon mózgowych. Żeby się nie nudzić, stawiał pasjanse (był to mało znany u nas pasjans canfield mający w USA status gry hazardowej).
      Ulam próbował wyliczyć szanse na to, że pasjans wyjdzie. Ale liczba możliwych ruchów w każdym kroku pasjansa rosła wykładniczo i szybko stawała się astronomicznie wielka. Matematyk doszedł do wniosku, że dużo łatwiej jest postawić sto pasjansów i zapisywać procent wygranych, niż uzyskać wynik na kartce papieru.
      Uświadomił też sobie, że w ten sam sposób można badać wszystkie procesy, gdzie - tak jak w pasjansie - liczba możliwości rozgałęzia się w sposób niekontrolowany, np. przy powielaniu neutronów w materiałach rozszczepialnych (z tym wtedy zmagali się konstruktorzy bomby atomowej). Na każdym etapie tego procesu losy neutronu mogą się potoczyć na różne sposoby - może zostać pochłonięty, trafić w jądro atomowe, spowodować jego rozszczepienie i wyprodukowanie nowych neutronów, a te z kolei będą powodować dalsze reakcje albo i nie. Chodziło o ustalenie, co się stanie po bardzo wielu takich krokach. Pomysł Ulama polegał na wypróbowaniu „jedynie” tysięcy możliwości - losowo wybranych jak w pasjansie. Taka próbka wystarcza, by wskazać właściwe rozwiązanie - tak jak sondaż opinii publicznej oparty na ledwie tysiącu osób mówi o preferencjach milionów.
      Ulam żartem proponował, by do obliczeń zatrudnić kilkuset Chińczyków z Tajwanu, z których każdy miałby liczydło i wybierał liczby losowe przez rzucanie kostką. Wkrótce jednak pojawiły się maszyny elektroniczne, które znakomicie nadawały się do takiego zadania. Ten sposób obliczeń - nazwany metodą Monte Carlo - jest od tamtej pory stosowany w wielu złożonych rachunkach.
       
       
      Rozmowa z dr. hab. Michałem Szurkiem z Instytutu Matematyki UW
      Po co uczyć się matematyki?
      Nikt rozsądny nie postuluje, żeby znieść zajęcia fizyczne w szkołach, choć mięśnie są nam coraz mniej potrzebne, bo mamy auta, pralki, maszyny. Wprost przeciwnie, jesteśmy przekonywani, i słusznie, do utrzymywania formy. Podobnie powinniśmy dbać o formę intelektualną.
       
      Matematyka ćwiczy umysł?
      - Uczy myślenia. Możemy trenować myślenie na sudoku, kostce Rubika, krzyżówkach. Ale wydaje się, że najlepiej do tego służy matematyka. W XIX w. uczono w szkole martwych języków - łaciny, greki. Nie po to, żeby studenci mogli rozmawiać za granicą, ale żeby tak ćwiczyć myślenie. Rozbiór zdania łacińskiego to był problem logiczny. Dziś problemy logiczne spotykamy na lekcjach matematyki. Biegłość, jaką nabywamy, rozwiązując problemy matematyczne, jest uniwersalna. Liczy się nie tylko samo rozwiązanie, ale jak zaatakować problem, jaką przyjąć strategię jego rozwiązania. Dlatego mają sens nawet sztucznie wymyślone zadania - te wyśmiewane pociągi jadące z miasta A do B czy robotnicy kopiący prostokątny dół...
       
      Matematyka jako poligon myślenia?
      - Tak. Gdy uczę studentów statystyki, mówię, że jedną z nauk, jakie powinni wynieść z tych zajęć, jest odporność na manipulację, na oszustwa w majestacie matematyki. One są powszechne. Proszę, zacytuję „Gazetę Wyborczą" - artykuł poświęcony bezpieczeństwu na drogach: - Wydawałoby się, że najniebezpieczniej jest po zmroku. Albo kiedy siecze deszcz. Nic bardziej mylnego. Otóż najbardziej niebezpiecznie jest w dzień i przy dobrej pogodzie - dwie trzecie wypadków i dwie trzecie ofiar. Wydawałoby się również, że najbardziej zabójcze są ostre zakręty. Błąd! To na długich prostych dochodzi do 60 proc. wypadków, to tam ginie blisko 70 proc. ofiar.
      To jest klasyczny - opisywany od 50 lat - błąd rozumowania statystycznego. Idąc za tą logiką, autostrady powinny być kręte, powinniśmy jeździć w mgle, po ciemku. Bo tak jest bezpieczniej.
       
      Ale o co chodzi, kwestionuje pan liczby?
      - Liczby są w porządku. Kwestionuję rozumowanie. Dlaczego mniej wypadków jest na zakrętach? Bo zakrętów jest mniej, na ogół przecież droga jest prosta. Dlaczego mniej wypadków jest nocą? Bo wtedy jest mniejszy ruch, a poza tym ludzie nocą jeżdżą ostrożniej.
       
      Niektórzy mówią: szkolna matematyka do niczego się nie przydaje, mamy już komputery, które za nas wszystko policzą.
      - Rzeczywiście, maszyny uwalniają nas dziś od najbardziej żmudnych obliczeń. Ale nie od myślenia. Komputer pomoże wszystko obliczyć, ale nie odpowie na pytanie o sens. Jest wiele przykładów bezsensownych rachunków - np. można wyliczyć średnią arytmetyczną wszystkich zwierząt w zoo, ale nic z tego nie wynika. Z powodzi obliczeń, jakie można dziś przeprowadzać za pomocą elektronicznych maszyn, musimy umieć wyłowić te sensowne.
       
      Czy tego właśnie powinno się uczyć na matematyce?
      - Także tego. Kilka lat temu poniosłem absolutną klęskę dydaktyczną. Postanowiłem nowocześnie uczyć algebry na pierwszym roku studiów. Algebra to bardzo rachunkowy przedmiot - rozwiązuje się tam duże układy równań. „Po co studenci mają to robić na tablicy czy na kartce - pomyślałem - od tego są komputery”. Skutek był piorunujący. Oni potrafili liczyć, ale zupełnie nie wiedzieli, co obliczają. Wiedzieli, jaki mają klawisz w komputerze nacisnąć w typowej sytuacji, ale najmniejsza zmiana warunków zadania sprawiała, że stawali się bezradni.
       
      Czy nie to było powodem ostatniego kryzysu? Maklerzy i bankowcy mają gotowe programy komputerowe i wiedzą, jaki klawisz wcisnąć w typowych sytuacjach. Jak sytuacja przestała być typowa, stracili głowę?
      - Sądzę, że to jedna z przyczyn. Inną rzeczą jest, że choć matematyka finansowa jest bardzo szybko rozwijającą się dyscypliną, to jest zarazem bardzo trudną i wciąż niedającą dobrych wyników. To jak teoria żeglowania po spokojnych wodach. Jak idzie burza, matematyk musi powiedzieć: przepraszam, nie znam dobrych metod. Próbujemy zaprząc do badania ekonomii fraktale, teorię chaosu, ale na razie to tylko próby.
       
      W książce „Matematyka dla humanistów” pisze pan: „Nie bójmy się nie rozumieć”. To nie tylko do humanistów?
      - Do każdego. Często uważamy, że jak czegoś nie rozumiemy, to jest to głupie. Jesteśmy niecierpliwi, nie mamy pokory wobec rzeczy trudnych do zrozumienia. Egzaminowałem kiedyś studenta z dość trudnego zagadnienia - chodziło o szczegóły z pracy habilitacyjnej słynnego matematyka Bernarda Riemana z połowy XIX w. Student mówi: ja tego nie rozumiem, dwa razy czytałem i nie rozumiem. Ba, odpowiedziałem, ja zacząłem to jako tako rozumieć dopiero za siódmym razem.
       
      Może na tym polega zaleta, ale i trudność matematyki - nie da się jej wykuć, trzeba zrozumieć?
      - Tak. Można „wykuć", ale efekty będą takie jak aktora, który na potrzeby filmu nauczył się udawać, że gra na fortepianie. Grałem w koszykówkę w drużynie uniwersyteckiej. Jej filarem był kolega z prawa. Gdy się dowiedział, że jestem z matematyki, spojrzał na mnie i rzekł: „Masz kiepsko, bracie. Jak ja czegoś nie wiem na egzaminie, to zawsze mogę popłynąć. A ty masz podać wzór i już”. Melchior Wańkowicz w „Tędy i owędy” opisywał, jak zdawał egzamin z prawa, a był nieprzygotowany. Wiadomo było, że profesor przepytuje dokładnie, ale ma jedną słabość - lubi jak student mu się sprzeciwia i ma własne zdanie. Kiedy więc spytał Wańkowicza, „co pan wie o sądach przysięgłych”, ten z miejsca odpalił: „Ja się z instytucją sądów przysięgłych nie zgadzam”. I zdał. Po egzaminie profesor mu powiedział: „Wprawdzie jest pan niedouczony, ale myśli samodzielnie”.
       
      To by się nie udało w matematyce?
      - Byłoby trudno. Tu liczy się konkret. Potrzebna jest też pewna dyscyplina myślenia - jedna pomyłka może zniweczyć całe obliczenia. Poza tym wszystkie wiadomości się nawarstwiają i trudno nadrobić zaległości. Z historii mogę doskonale znać epokę Bolesława Chrobrego, a być słabym z Jagiellończyków. W matematyce ważna jest systematyczność.
       
      To dlatego większość z nas matematyki bała się jak ognia.
      - Kilka lat temu zobaczyłem, że matematyka może być nudna. Poznałem dziewczynę, która na lekcjach miała tylko słupki, słupki, słupki. Jeśli nauczyciel nie potrafi tak uczyć, żeby było coś widać spoza tych słupków, to pewnie, że matematyka będzie nudna. A jak nudna, to i trudna.
      Do połowy dziewiątej klasy uważałem historię za przedmiot niesłychanie nudny. Nauczycielka złamała nogę, nie wróciła do szkoły, zastąpiła ją Anna Radziwiłł, późniejsza minister oświaty. Od tej pory te lekcje stały się pasjonujące. Pani Anna potrafiła mnie - od zawsze zdeklarowanego matematyka - tak zainteresować historią, że do tej pory jest ona moją pasją. Nie ma dwóch zdań, że nauczyciel jest bardzo ważny. To pewne... jak dwa razy dwa to cztery
       
      Rozmowa z dr. hab. Michałem Szurkiem z Instytutu Matematyki UW
      Tekst pochodzi z "Gazety Wyborczej", wydanie z dnia 1 grudnia 2009 r.